Илюзията за безкрайност – 2

Posted: November 20, 2014 in New Scientist

През последното десетилетие Уилдбергер работи върху нова, свободна от безкрайността версия на тригонометрията и Евклидовата геометрия. В стандартната тригонометрия безкрайността винаги съществува. Ъглите са дефинирани като отношение към обиколката на окръжност и оттам към безкраен стринг от цифри – ирационалното число Пи.
Математическите функции като синус и косинус, които отнасят ъглите като отношение на две линейни дължини, са дефинирани в този ред, от отношението на безкрайни числа и могат обичайно да бъдат пресметнати само приблизително. “Рационалната геометрия” на Уилдбергер се стреми да избегне тези безкрайности, заменяйки ъглите за пример с “разпръскване“, дефинирано не от отношението към окръжност, а от рационалното решение извлечено от математически вектори представляващи две линии в пространството. Дорон Зиелбергер от Университета Рътгърс в Пискатауей, Ню Джързи, мисли че в това има потенциал. “Всичко е построено изключително рационално. Това е удачен подход,” смята той. Зиелбергер се присъединява към поглед към безкрайността, който би накарал дори големите математици от периода преди Кантор да започнат да се въртят в гробовете си.

И докато работата на Уилдбергер е съсредоточена върху това да се отърве от действителната безкрайност като реален обект използван в математическите манипулации, Зиелбергер иска да се отърве и от потенциалната безкрайност. “Забравете всичко, което знаете за математиката: има най-голямо число. Започнете с 1 и продължавайте да броите и евентуално ще стигнете число, което не може да надвишите – нещо като скоростта на светлината за математиката.”

infinity
Това повдига и редица въпроси. Колко голямо е най-голямото число? “То е толкова голямо, че никога не можете да го достигнете,” казва Зиелбергер. “Не знаем какво е, така че трябва да му дадем име, символ. Аз ще му казвам N0.” Какво се случва тогава ако добавите 1 към него? Отговорът на Зиелбергер идва от аналогията с компютърния процесор. Всеки компютър има едно най-голямо цяло число, с което може да се справи: надвишите ли го, или ще получите “грешка за препълване” или процесора ще занули числото (ще го приравни към нула). Зиелбергер намира второто решение за по-елегантно: “Стига с тези числови редици, които се разтягат до безкрайност в двете посоки. Можем да преработим математиката, като постулираме че има “най-голямо” число и да го представим  действащо циркулярно.”
Тук Хю Удин, теоретик по множествата в Университета на Калифорния, Бъркли е скептичен: “Той може и да е прав, разбира се. Но за мен, този поглед върху нещата е лимитиращ. Защо да го приемам освен ако няма строго доказателство за правотата му?” За него, успехът на теорията на множествата, ведно със всичките и безкрайности е достатъчна причина да защитава това статукво.

Засега, математиците-финитисти (тези, които защитават крайната природа на математиката) получават повече внимание от компютърните специалисти и изследователите по роботика, който обичайно работят с гранични форми на математика. Ограничените компютърни процесори не могат в действителност да се справят с реалните числа в пълният им безкраен блясък. Те ги опростяват с използването на аритметика с плаваща запетая – форма на научно означаване, която позволява на компютъра да “отреже” цифри от реалното число и по този начин да спести памет, без да се налага да губи крайната цел.
Идеята, че нашата безкрайна Вселена може да работи по сходен маниер си има и история. Конрад Зусе, немски инженер и един от пионерите на на аритметиката с плаваща запетая, построява първият електронен програмируем компютър в хола на родителите си през 1938г. Виждайки, че тази негова машина може да решава диференциални уравнения (които обичайно използват малки стъпки, за да калкулират еволюцията на физична система) без да прибягва до безкрайността, той е бил убеден, че безкрайността на математиката е била просто приближение на дискретната и гранична реалност. През 1969г., Зусе написва книга наречена “Да пресметнеш Космоса“, в която той изтъква, че Вселената сама по себе си е цифров компютър, такъв в който безкрайността няма място.

Тегмарк от своя страна е заинтригуван от факта, че калкулациите и симулациите, които физиците използват, за да проверяват дадена теория спрямо твърдите факти съществуващи в света, могат да бъдат изцяло направени на лимитиран математически компютър. “Това вече показва, че не ни трябва безкрайността, за нищо от това което правим. Няма абсолютно никакво доказателство от какъвто и да е характер, че природата го прави различно, че и е нужно да обработва безкраен обем информация.

Сет Лойд, физик и експерт по квантова информация в MIT, съветва към внимание с подобни аналогии между космоса и един обикновен ограничен компютър: “Ние нямаме никакви доказателства, че Вселената се държи както, ако би била класически компютър, но пък имаме множество сведения, че го прави като квантов такъв.”

На пръв поглед това не е проблем за тези, които искат да отхвърлят безкрайността. Квантовата физика бе родена тогава през 20-ти век, когато Макс Планк показваше как да се справим с друга безмислена безкрайност. Класическите теории показваха, че количеството енергия, която се емитираше от перфектно абсорбиращо и излъчващо тяло трябваше да бъде безкрайна, което стана ясно, че не е съвсем така. Планк реши проблема с презумпцията, че енергията произлиза не като безкрайно делим континуум, а като дискретни частици – кванти.
Трудностите започнаха с котката на Шрьодингер. Когато никой не гледаше, известната котка можеше да бъде едновременно и жива и мъртва в един и същ момент, да се рее в “суперпозиция” от множествени, взаимно ексклузивни състояния, които се сливат непрестанно. Математически погледнато, този континуум, може да бъде описан единствено посредством използването на безкрайности. Същото е в сила и за “кюбитите” на квантовият компютър, който може да изпълнява огромен брой взаимно ексклузивни изчисления едновременно, докато някой не поиска резултат. “Ако вие наистина искате да определите пълното състояние на един кюбит, това ще изисква безкрайно количество информация, ” според Лойд.

В заешката дупка

Тегмарк е донякъде неуверен: “Когато беше открита квантовата механика, ние разбрахме, че класическата механика е била просто едно приближение. Мисля, че друга революция ще се състои и ще видим как цялата квантова механика сама по себе си е едно приближение към някаква по-дълбока теория, която е напълно определена.”  Тук, Лойд парира, че ние трябва да работим с това, което имаме: “Моето виждане е, защо просто не приемем това, какво квантовата механика ни казва, вместо да внушаваме предразсъдъците си върху Вселената? Това никога не се получава.”

За физиците търсенето на път напред е лесен начин да се открие приложението му. Ако можем да отхвърлим безкрайността от лежащата под нея математика, то може би можем и да видим пътят, по който да унифицираме физиката. А по отношение на страха на Тегмарк – проблемът с измерването, то ще бъдем освободени от нуждата да търсим условна вероятностна мярка, за да възстановим по този начин пророческите възможности на космологията. В един ограничен Мултивърс, ние просто трябва да преброим възможностите. Ако наистина има най-голямо число, то тогава просто трябва да броим до повече.
Уудинг по-скоро би разделил двата проблема на физични и математически безкрайности –  “Възможно е физиката да е напълно определена,” казва той. “Но в този случай, нашата концепция за теорията на множествата представлява разкриването на истината, която е далеч отвъд физичната Вселена.

Тегмарк от друга страна мисли, че математиката и физиката са неразривно свързани – колкото по-дълбоко се гмуркаме в заешката дупка на физиката, стигайки до дълбоките нива на реалността, толкова повече нещата изглеждат направени от чиста математика. За него съобщението за фатална грешка съдържащо се в проблема с измерването ни казва, че искаме ли да спасим физичната Вселена от безкрайността, то трябва да рестартираме и математиката. “Казва ни, че нещата не са просто грешни, а ужасно грешни.

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s