Archive for November, 2014

През последното десетилетие Уилдбергер работи върху нова, свободна от безкрайността версия на тригонометрията и Евклидовата геометрия. В стандартната тригонометрия безкрайността винаги съществува. Ъглите са дефинирани като отношение към обиколката на окръжност и оттам към безкраен стринг от цифри – ирационалното число Пи.
Математическите функции като синус и косинус, които отнасят ъглите като отношение на две линейни дължини, са дефинирани в този ред, от отношението на безкрайни числа и могат обичайно да бъдат пресметнати само приблизително. “Рационалната геометрия” на Уилдбергер се стреми да избегне тези безкрайности, заменяйки ъглите за пример с “разпръскване“, дефинирано не от отношението към окръжност, а от рационалното решение извлечено от математически вектори представляващи две линии в пространството. Дорон Зиелбергер от Университета Рътгърс в Пискатауей, Ню Джързи, мисли че в това има потенциал. “Всичко е построено изключително рационално. Това е удачен подход,” смята той. Зиелбергер се присъединява към поглед към безкрайността, който би накарал дори големите математици от периода преди Кантор да започнат да се въртят в гробовете си.

И докато работата на Уилдбергер е съсредоточена върху това да се отърве от действителната безкрайност като реален обект използван в математическите манипулации, Зиелбергер иска да се отърве и от потенциалната безкрайност. “Забравете всичко, което знаете за математиката: има най-голямо число. Започнете с 1 и продължавайте да броите и евентуално ще стигнете число, което не може да надвишите – нещо като скоростта на светлината за математиката.”

infinity
Това повдига и редица въпроси. Колко голямо е най-голямото число? “То е толкова голямо, че никога не можете да го достигнете,” казва Зиелбергер. “Не знаем какво е, така че трябва да му дадем име, символ. Аз ще му казвам N0.” Какво се случва тогава ако добавите 1 към него? Отговорът на Зиелбергер идва от аналогията с компютърния процесор. Всеки компютър има едно най-голямо цяло число, с което може да се справи: надвишите ли го, или ще получите “грешка за препълване” или процесора ще занули числото (ще го приравни към нула). Зиелбергер намира второто решение за по-елегантно: “Стига с тези числови редици, които се разтягат до безкрайност в двете посоки. Можем да преработим математиката, като постулираме че има “най-голямо” число и да го представим  действащо циркулярно.”
Тук Хю Удин, теоретик по множествата в Университета на Калифорния, Бъркли е скептичен: “Той може и да е прав, разбира се. Но за мен, този поглед върху нещата е лимитиращ. Защо да го приемам освен ако няма строго доказателство за правотата му?” За него, успехът на теорията на множествата, ведно със всичките и безкрайности е достатъчна причина да защитава това статукво.

Засега, математиците-финитисти (тези, които защитават крайната природа на математиката) получават повече внимание от компютърните специалисти и изследователите по роботика, който обичайно работят с гранични форми на математика. Ограничените компютърни процесори не могат в действителност да се справят с реалните числа в пълният им безкраен блясък. Те ги опростяват с използването на аритметика с плаваща запетая – форма на научно означаване, която позволява на компютъра да “отреже” цифри от реалното число и по този начин да спести памет, без да се налага да губи крайната цел.
Идеята, че нашата безкрайна Вселена може да работи по сходен маниер си има и история. Конрад Зусе, немски инженер и един от пионерите на на аритметиката с плаваща запетая, построява първият електронен програмируем компютър в хола на родителите си през 1938г. Виждайки, че тази негова машина може да решава диференциални уравнения (които обичайно използват малки стъпки, за да калкулират еволюцията на физична система) без да прибягва до безкрайността, той е бил убеден, че безкрайността на математиката е била просто приближение на дискретната и гранична реалност. През 1969г., Зусе написва книга наречена “Да пресметнеш Космоса“, в която той изтъква, че Вселената сама по себе си е цифров компютър, такъв в който безкрайността няма място.

Тегмарк от своя страна е заинтригуван от факта, че калкулациите и симулациите, които физиците използват, за да проверяват дадена теория спрямо твърдите факти съществуващи в света, могат да бъдат изцяло направени на лимитиран математически компютър. “Това вече показва, че не ни трябва безкрайността, за нищо от това което правим. Няма абсолютно никакво доказателство от какъвто и да е характер, че природата го прави различно, че и е нужно да обработва безкраен обем информация.

Сет Лойд, физик и експерт по квантова информация в MIT, съветва към внимание с подобни аналогии между космоса и един обикновен ограничен компютър: “Ние нямаме никакви доказателства, че Вселената се държи както, ако би била класически компютър, но пък имаме множество сведения, че го прави като квантов такъв.”

На пръв поглед това не е проблем за тези, които искат да отхвърлят безкрайността. Квантовата физика бе родена тогава през 20-ти век, когато Макс Планк показваше как да се справим с друга безмислена безкрайност. Класическите теории показваха, че количеството енергия, която се емитираше от перфектно абсорбиращо и излъчващо тяло трябваше да бъде безкрайна, което стана ясно, че не е съвсем така. Планк реши проблема с презумпцията, че енергията произлиза не като безкрайно делим континуум, а като дискретни частици – кванти.
Трудностите започнаха с котката на Шрьодингер. Когато никой не гледаше, известната котка можеше да бъде едновременно и жива и мъртва в един и същ момент, да се рее в “суперпозиция” от множествени, взаимно ексклузивни състояния, които се сливат непрестанно. Математически погледнато, този континуум, може да бъде описан единствено посредством използването на безкрайности. Същото е в сила и за “кюбитите” на квантовият компютър, който може да изпълнява огромен брой взаимно ексклузивни изчисления едновременно, докато някой не поиска резултат. “Ако вие наистина искате да определите пълното състояние на един кюбит, това ще изисква безкрайно количество информация, ” според Лойд.

В заешката дупка

Тегмарк е донякъде неуверен: “Когато беше открита квантовата механика, ние разбрахме, че класическата механика е била просто едно приближение. Мисля, че друга революция ще се състои и ще видим как цялата квантова механика сама по себе си е едно приближение към някаква по-дълбока теория, която е напълно определена.”  Тук, Лойд парира, че ние трябва да работим с това, което имаме: “Моето виждане е, защо просто не приемем това, какво квантовата механика ни казва, вместо да внушаваме предразсъдъците си върху Вселената? Това никога не се получава.”

За физиците търсенето на път напред е лесен начин да се открие приложението му. Ако можем да отхвърлим безкрайността от лежащата под нея математика, то може би можем и да видим пътят, по който да унифицираме физиката. А по отношение на страха на Тегмарк – проблемът с измерването, то ще бъдем освободени от нуждата да търсим условна вероятностна мярка, за да възстановим по този начин пророческите възможности на космологията. В един ограничен Мултивърс, ние просто трябва да преброим възможностите. Ако наистина има най-голямо число, то тогава просто трябва да броим до повече.
Уудинг по-скоро би разделил двата проблема на физични и математически безкрайности –  “Възможно е физиката да е напълно определена,” казва той. “Но в този случай, нашата концепция за теорията на множествата представлява разкриването на истината, която е далеч отвъд физичната Вселена.

Тегмарк от друга страна мисли, че математиката и физиката са неразривно свързани – колкото по-дълбоко се гмуркаме в заешката дупка на физиката, стигайки до дълбоките нива на реалността, толкова повече нещата изглеждат направени от чиста математика. За него съобщението за фатална грешка съдържащо се в проблема с измерването ни казва, че искаме ли да спасим физичната Вселена от безкрайността, то трябва да рестартираме и математиката. “Казва ни, че нещата не са просто грешни, а ужасно грешни.

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.

Защо времето тече напред вместо назад? Може би отговорът на тази отдавнашна мистерия се крие в това какво се е случило на Вселената, когато гравитацията за първи път е взела нещата под контрол около 380000 години след Големият Взрив.

От 19-ти век насам знаем, че ентропията оказва роля върху стрелката на времето. Яйцата се чупят вместо да стават цели отново, кафето изстива вместо да става по-горещо и хората стареят вместо да се подмладяват. Всички тези изменения се асоциират с увеличаването на ентропията, или още познато като хаоса в системата. Това се случва, защото за дадена система има повече хаотични вместо организирани състояния, в които да се развие.  Това значи, че е доста по-вероятно като изход хаотичното състояние и увеличението на ентропията. Проблемът тук е, че целта на Вселената да става все по-неподредена би било вярно само ако при стартирането си тя е била във високо-организирано състояние – предположение, което физиците намират за трудно да преглътнат, защото звучи много неправдоподобно.

Трябва да отбележим, изтъква Лорънс Шулман от Университета Кларксън в щата Ню Йорк, че Вселената минава към високо-организирано състояние след 380 000 години – първият път, когато е била достатъчно хладна, за да могат съставките на атомите да се комбинират  (www.arxiv.org/abs/0811.2787). Преди този момент, 10 милиарда фотона от всяка частица материя са рикоширали от свободните електрони, изстрелвайки ги в различни посоки и ерго предотвратявали гравитацията да събере материята заедно в бучици. С електроните свързани в атоми и относително защитени от фотоните, гравитацията можела да започне да събира материята, евентуално формираща галактики, звезди и планети.

 А някога бях цяло!

egg  “Включването” на гравитацията е ключа, казва Шулман. Преди формирането на атомите, светещата материя от експлозията на Големият Взрив е била разпределена по равно по протежение на пространството, в съответствие с наблюденията върху произхода на космическата радиация – т.нар “сияние” след Големият Взрив.
Това високо-ентропийно състояние е вероятно след като вече не е действала сила с голям обхват върху материята във Вселената.

Когато гравитацията се включва в играта, Вселената превключва на ниска ентропия. Коварното тук е, че дори след като гравитацията поема роля в агрегирането на материята, разпределението на последната не се променя директно след промяната между състоянията на Вселената, но цялата Вселена преминава в необичайно състояние. “Каквото е било високо-ентропийно, типично състояние в ранният режим преминало в ниска ентропия, специално състояние в късния режим.

Така изглежда, че е налице относително тривиална причина, защо Вселената в миналото е била в специално състояние и следователно защо стрелката на времето сочи от миналото към бъдещето, казва Шулман и той не е единственият, който се чуди дали стрелката на времето може да бъде обяснена по този начин.  Сходен аргумент бе направен наскоро от Роджър Пенроуз от Университета в Оксфорд. “Идеята виси във въздуха, ” Шулман го каза и привлече вниманието, само че този аргумент не казва нищо за “дълбоката” стрелка на времето, преди Вселената да е била на тези 380 000 години. “Може и да е нямало, а може и да имало, поради някакви ранни физични процеси,” – продължава Пенроуз. “Харесва ми работата на Шулман, тя обяснява стрелката на времето, което изпитваме сега, докато търсим отговори на въпросите за дълбоките стрелки в ранните етапи на развитие на  Вселената.”

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.

Зарежете идеята, че някои неща никога не свършват и Вселената ще започне да добива малко повече смисъл.

БЕЗКРАЙНОСТТА –  Това е концепция, която предизвиква въображението. Ние прекарваме достатъчно много време в опити да обгърнем в мислите си неща, които са изключително мащабни: нашата Слънчева система, нашата галактика, видимата Вселена. Но тези мащаби са нищо, сравнено с безкрайността. Дори само мисленето за това, може ти замае главата. Но евентуално можем да го предотвратим. Математиката както знаем, е заета със загадки за безкрайности. Числовата редица се разтегля до безкрай, че и отвъд, освен това е неограничено делима: безброй  числа се крият между всеки други две. Броят на цифрите в константите като Пи е безкраен също.

И без значение дали  става дума за геометрия, тригонометрия или алгебра,  математическите манипулации, които ползваме, за да накараме света около нас да добие смисъл, са изградени върху идеята, че някои неща никога не свършват.

Проблемът е, че веднъж изпуснати, тези безкрайности се превръщат в диви, неуправляеми зверове. Те разбиват на пух и прах уравненията, с които физиците се опитват да обяснят фундаментите на природата. Те пречат на гледката към силите, които оформят космоса. И най-лошото от всичко, добавете безкрайностите към експлозивната смес, която оформя Вселената-бебе и те ще попречат в това да се правят каквито и да е научни прогнози.

Какво точно обаче насърчава смелите спекулации сред някои физици и математици: можем ли да се отървем от безкрайността?

Вярата в безкрайното не беше винаги водещо направление. “През по-голямата част от историята на математиката, безкрайността бе държана на една ръка разстояние,” казва математикът Норман Уилдбергер от Университета в Нови Южен Уелс, Сидни.  За големите в темата – от Аристотел, та до Нютон и Гаус, единствената безкрайност беше “потенциалната безкрайност.” Този тип безкрайност ни позволява да добавим 1 към кое да е число, без страх че ще ударим краят на числовата редица, и това действително не се случва и има дълъг път до възприемането на “действителната” безкрайност – тази която вече е достигната и удобно опакована като математическа същност, с която можем да манипулираме в уравненията.

Нещата се промениха през късният 19-ти век, когато немският математик Георг Кантор въвежда Теорията на множествата, подкрепена от модерната теория на числата. Той изтъква, че множествата съдържащи безкраен брой елементи са сами по себе си математически обекти.  Този гениален ход позволява смисъла на числата да бъде формулиран по строг начин, който дълго бе избягван математически. В Теорията на множествата, безкрайният континуум от “реални” числа, включващо всички рационални числа (тези като 1/2, което може да бъде изразено като отношение на цели числа) и ирационалните числа (тези, които не могат да бъдат изразени по този начин, като например Пи) се третират като действителни, и по-скоро като потенциални безкрайности. “Никой не трябва да ни пъди от Раят, който Кантор създаде,” декларира и сега математикът Дейвид Хилберт.

За физиците обаче, раят на безкрайността се превърна в нещо като Чистилище. Един пример за това е стандартният модел елементарни частици, които дълго бяха заобиколени от патологични безкрайности – както е в квантовата електродинамика, по известна като квантовата теория за електромагнитните сили.  Първоначално тя постулираше, че масата и зарядът на електрон могат да бъдат безкрайни. Десетилетия работа, възнаградени от множеството с Нобелова награда отхвърлиха тези безмислени безкрайности – или поне по-голямата част от тях.

Гравитацията високомерно устояваше унификацията с другите сили на природата в стандартният модел и изглеждаше имунизирана към най-добрите номера на физиците в това да неутрализират ефекта на безкрайност. При екстремни обстоятелства – като във вътрешността на черна дупка например, уравненията на Айнщайн за общата относителност, които описват работата на гравитацията се разбиват след като материята стане безкрайно плътна и гореща, а време-пространството безкрайно усукано.

Но точно при Големият Взрив безкрайността причинява най-много щети. В съответствие с теорията за космическото разширение, Вселената претърпява взрив на скоростна експанзия в частица от нейната първа секунда. Разширението обяснява важни свойства на Вселената, включително съществуването на звездите и галактиките. Но то не може да бъде спряно.  То продължава да разширява другите парчета време-пространство дълго след като Вселената се е успокоила, създавайки по този начин един безкраен “Мултивърс” в един нескончаем поток от Големи Взривове. В един безкраен Мултивърс, всичко което може да се случи, ще се случва безкраен брой пъти. Подобна космология предсказва всичкото което можем да кажем, е и нищо. Тази беда е позната като измерим проблем, защото повечето космолози вярват, че ще бъде фиксиран с правилната “мярка за вероятност”, която ще ни каже на първо място как ще свърши всико в една определена Вселена и на второ – ще възстанови нашите пророчески сили.

Други смятат, че има нещо много фундаментално сгрешено. “Разширяването ни казва, хей, има нещо много сбъркано в това, което правим,” започва космолога Макс Тегмарк от MIT. “Има нещо твърде базово, което сме предположили, и което е просто погрешно.”  За Тегмарк, това “нещо” е безкрайността. Физиците третират време-пространството като безкрайно разтеглив математически континуум; сходен на редицата реални числа, той няма пролуки. Зарежете това предположение и цялата космическа история се променя. Разширението ще разтяга време-пространството дотогава, докато нещо се пречупи. След това разширението свършва, оставяйки ни един голям, но фиксиран Мултивърс. “Всичките ни проблеми с разширяването и проблема с измерването произтичат определено от нашето предположение за безкрайност,” допълва той. “Това е основното, нетествано предположение.

Разрушителното влияние

Има достатъчно основания да се мисли, че и това не е гарантирано. Работата на Стивън Хокинг и Джейкъб Бекенщайн върху квантовите свойства на черните дупки през 70-те води до разработването на холографският принцип, който прави максималното количество информация вмествано в даден обем време-пространство, пропорционално на грубо 1/4 от площта на видимият му хоризонт. Най-голямото число информационни битове, които Вселена от нашият размер може да задържи е около 10122. Така, ако Вселената наистина се управлява на холографски принцип, то просто тогава няма достатъчно място за безкрайност. Определено ни трябва нещо като брой битове, за да записваме изхода от експериментите.

Дейвид Уайнленд, физик от Националният Институт по стандарти и технологии в Булдър, Колорадо, съвместява преinfinity1з 2012 Нобеловата награда по физика, за най-акуратното в света измерващо устройство – атомен часовник, който може да измерва отклонения във времето с точност до 17 порядъка. Аномалията в магнитният момент на електрона – мярка за малкият квантов ефект върху спина на частицата, беше измерена до 14 десетични порядъка. Но дори и най-доброто устройство няма да измерва с безкрайна точност и това води до сърбеж у някои физици. “Не мисля, че някой харесва безкрайността,” казва Рафаел Бусо от Университета на Калифорния в Бъркли. “Тя не е приемлив изход от кой да е експеримент.

Но ако безкрайността е такава важна част от математиката, езика който използваме, за да описваме света около себе си, как се надяваме тогава да се отървем от нея?

Улдбергер се опитва да го проумее, подбуден от това, което вижда като разрушително влияние на безкрайността върху собственият му субект. “Модерната математика, казва той,  има някои сериозни логически слабости които се асоциират по един или друг начин с безкрайното множество на реалните числа.”

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.