ПЪРВИ СРЕД РАВНИ

Posted: October 27, 2014 in New Scientist

Скрити от погледа ни, уравнения движат живота ни всеки ден. Математикът Ян Стюарт е в търсене на най-влиятелното от тях.

untitled

Алармата звънва, поглеждаш часовника. Часът е 6.30 сутринта.  Още не си се повдигнал от леглото и вече поне 6 уравнения са ти повлияли. Чипът памет, който пази стойността на часа не би могъл да бъде създаден без ключово уравнение от квантовата механика. Времето се настройва посредством радио-сигнал, за изобретяването на който не бихме и могли да мечтаем ако не бяха четирите уравнения на Джеймс Клерк Максуел за електромагнетизма. И самият сигнал пътуващ към часовника, в съответствие с това което познаваме като вълнова функция.

Ние се носим в скрит океан от уравнения. Те са навсякъде около нас – работят в транспорта, финансовата система, здравето, превенцията и наблюдението на престъпността, комуникациите, обработката на храната и водата, отоплението и осветлението. Стъпвайки под душа, попадате под влиянието на уравнения, които контролират водоснабдяването. Закуската ви на масата е повлияна в процеса на отглеждане от статистически уравнения. Шофирайки към работа сте косвено под влиянието на уравненията използвани в дизайна на аеродинамичната форма на автомобила ви – т.нар уравнения на Навие-Стокс, които описват динамиката на въздушните потоци, когато обтичат колата ви. Включването на сателитната навигация използва уравнения от квантовата физика отново плюс законите на Нютон за движението и гравитацията, които са помогнали за изстрелването и позиционирането на сателитите на геостационарна орбита. Същите използват генератор, който работи с уравнения генериращи случайни числа за времевите сигнали, тригонометрични уравнения, за да изчисли местоположението, както и уравнения от специалната и общата относителност за прецизен тракинг на сателитното движение под влияние на земната гравитация.

Без уравнения, голяма част от нашите технологии никога не биха били създадени. Разбира се важни изобретения като колелото и огъня са се появили без някакво математическо познание. Факт е обаче, че без уравнения бихме стояли още в Средновековието.

Има хиляди важни уравнения. Седемте над които се фокусираме – уравнението на вълната, четирите уравнения на Максуел, трансформацията на Фурие и уравнението на Шрьодингер илюстрират как емпиричните наблюдения водят до уравнения, които ползваме и в науката и във всекидневието.

Да погледнем към първото – уравнението на вълната. Ние живеем в свят на вълни. Нашите уши засичат вълните с  периодични колебания и разлики в налягането като звук, очите ни пък засичат вълните светлина. Когато земетресение порази един град, разрушението е предизвикано от сеизмичните вълни минаващи през земната кора.

Математиците и учените трудно биха се провалили в мисленето си за вълните, но тяхната стартова точка идва от изкуствата: как струната на цигулката създава звук?

Въпросът ни връща назад в Древна Гърция до култа към Питагорейците, които откриват,  че ако две струни от един и същ тип и с един и същ опън, имат дължини в просто отношение, като например 2:1 или 3:2, то те издават ноти такива, че заедно те звучат необичайно хармонично.  По-комплексните съотношения не са хармонични и са неприятни за ухото. Бил е швейцарският математик Йохан Бернули този, който започва да прави връзките между тези наблюдения.  През 1727 г. той моделира струна за цигулка като голям брой от близко намиращи се точкови маси, свързани посредством пружини. Той използва законите на Нютон, за да опише система от уравнения на движението и ги решава. От решенията Бернули заключава, че най-простата форма на вибриращата струна е синусоида. Съществуват и други модели на вибрация освен синусоидата, при които повече от една вълна съвпада с дължината на струната,  познати на музикантите като хармоници.

От вълните до безжичното
Почти 20 години по-късно, Жан льо Ронд Д’алембер следва сходна процедура, но се фокусира върху опростяване на уравненията за движението вместо върху техните решения. Това което изплувало като резултат е било елегантно уравнение описващо как фигурата на струната се изменя по протежение на времето. Това е вълновото уравнение и то постулира, че ускорението на някакъв малък сегмент от струната е пропорционално на напрежението действащо върху нея. То намеква, че вълни, чиито честоти не са в просто отношение дават неприятно звучащи звуци познати като “тактове” .Това е една от причините прости цифрови отношения да дават ноти,  които звучат хармонично.

Вълновото уравнение може да бъде изменено така, че да се цели в по-сложни, заплетени феномени като например земетресенията. Някои изискани версии на вълновото уравнение позволяват на сеизмолозите да откриват какво точно се случва стотици километри под краката ни. Уравненията могат да опишат земните тектонични плочи и как едната се подпъхва под другата, предизвикващо земетресения и вулкани. Най-голямата полза в това поле би бил достоверен метод за предсказване на земетресения и вулканични изригвания и множеството от методите, които се използват сега са подкрепени от вълновото уравнение.

Но най-влиятелното прозрение от вълновото уравнение се появява на повърхността водейки началото си от изследване на уравненията на Максуел за електромагнетизма.

През 1820 г. повечето хора осветяват домовете си с използването на свещи и газени лампи, ако искаш да изпратиш съобщение, то пишеш писмо и го поставяш във водена от кон карета; за по-спешни съобщения – забравяш за каретата и си наемаш кон. 100 години по-късно къщите и улиците имат електрическо осветление, телеграфията означава съобщения, които могат да пресичат континенти и хората вече започват да говорят един с друг от разстояние по телефона.  Радио-комуникацията бива демонстрирана в лаборатории, а находчив предприемач построява фабрика продаваща “безжични устройства” на масите.

Тази социална и технологична революция беше задействана от откритието на двама учени. През 1830 г. Майкъл Фарадей установява основите на физиката на електромагнетизма. Тридесет години по-късно, Джеймс Клерк Максуел предприема своеобразно пътешествие по формулирането на математическите основи на експериментите и теориите на Максуел.

По това време повечето физици работещи върху електричеството и магнетизма са търсели аналогии с гравитацията,  на която се гледало като сила действаща между телата от разстояние. Фарадей обаче е имал различна идея: за да обясни серията от експерименти, които провежда върху електричеството и магнетизма, той постулира, че двата феномена са полета, които проникват в пространството, изменят се по протежение на времето и могат да бъдат открити посредством силите, които генерират. Фарадей излага тези теории във вид на геометрични структури описващи линиите на магнитните сили. Максуел реформулира тези идеи по аналогия с математиката на флуидните потоци. Той се аргументира с това, че линиите на силите са аналогични на пътищата следвани от молекулите на флуида и че силата на електричното или магнитното поле е аналогична на скоростта на флуида.

През 1864 г. Максуел представя четири уравнения, които описват основните взаимодействия между електричните и магнитните полета. Две от тях ни казват, че електричеството и магнетизма не могат да “изтичат”. Другите две пък ни казват, че когато регион от електрическо поле се завърти в малък кръг, той създава магнитно поле, и че въртящ се регион от магнитно поле създава електрично такова. Но това което прави Максуел след това е впечатляващото. С прилагането на няколко прости манипулации по уравненията, той успява в това, да изведе вълновото уравнение и да заключи, че светлината трябва да бъде електромагнитна вълна.equations2

Това само по себе си е била изумителна новина, тъй като никой дотогава не си е представял такава фундаментална връзка между светлината, електричеството и магнетизма. И освен това се установило и друго, че светлината съществува в различни цветове, кореспондиращи на различни дължини на вълната. Дължините на вълните, които виждаме са ограничени от химията лежаща зад светлочувствителните пигменти на окото.  Уравненията на Максуел правят драматично предсказание – че електромагнитни вълни от всички дължини би трябвало да съществуват. Някои от тях с по-големи дължини от тези, които можем да виждаме трансформират света: радиовълните.
През 1887, Хайнрих Херц демонстрира радиовълните експериментално, но се проваля в това да оцени тяхното революционно приложение. Ако можеш да поставиш сигнал върху подобна вълна, можеш да говориш с целия свят.

Никола Тесла,  Гулиелмо Маркони и други учени и изследователи превръщат тази мечта в реалност и цялата пищност от модерни комуникации – от радиото и телевизията, до радарите и микровълните водещи до клетъчните телефони по някакъв естествено следващ път се появяват. И те всички водят началото си от четири уравнения и няколко прости изчисления. Уравненията на Максуел не просто променят света, те откриват нов такъв.

И също толкова важно както това, което описват уравненията на Максуел е и това, което не описват. И въпреки че уравненията  разкриват светлината като вълна, физиците скоро откриват, че това поведение понякога е в противоречие с тази гледна точка. Насочете светлина върху метал и тя създава електричество, феномен наречен фотоелектричен ефект. Но това има смисъл, само ако светлината се държи като частица. Така че, е ли светлината вълна или частица? Всъщност, по-малко от двете. Материята е направена от квантови вълни и гъсто заплетена мрежа от вълни действащи като частици.

Жив или мъртъв
През 1927 Ервин Шрьодингер написва уравнение за квантовите вълни.  То пасва красиво върху експериментите, докато той рисува картина на много странен свят, в който фундаменталните частици като електроните не са добре обяснени обекти, а представляват вероятностни облаци. И спинът на електрона, който е подобно на монета, която може да бъде с едната или другата страна нагоре докато не удари по масата. Скоро теоретиците се чудят относно всички начини на квантовата странност които съществуват, както котките които са едновременно живи и мъртви и паралелните Вселени, в които Адолф Хитлер печели втората световна война.
Квантовата механика не е ограничена от подобни философски енигми. Почти всички модерни играчки – компютрите, клетъчните телефони, игралните конзоли, автомобилите, хладилниците, печките – съдържат чипове памет, базирани на транзистори, чиито операции се базират на квантова механика на полупроводниците. Нови приложения квантовата механика открива почти на седмичен базис. Квантовите точки – малки бучици полупроводник могат да емитират светлина във всякакъв цвят  и се използват за биологична визуализация, където заменят традиционните, често токсични багрила.

Инженери и физици се опитват да изобретят квантов компютър, такъв който може да изпълнява множество различни изчисления паралелно, точно подобно на котката, която е едновременно жива и мъртва.

Лазерите са другото приложение на квантовата механика. Използваме ги, за да четем информация от малки белези или кратери по повърхността на  CD-та, DVD-та и Blu-ray дискове. Астрономите използват лазери, за да измерват разстоянието между Земята и Луната. Може би дори е възможно да се изстреля космически кораб от Земята, който използва силата на мощен лазерен лъч, за да се придвижва в пространството.

Последната глава тази история произлиза от уравнение което ни помага да разберем смисъла на вълните. Всичко започва през 1807 г., когато Жозеф Фурие изнамира уравнение за топлинните потоци. Той представя работата си пред Френската Академия по науките, но тя бива отхвърлена. През 1812, Академията установява условие за спечелването на годишната награда, като темата за научни изследвания е топлината. Фурие представя по-разширена, ревизирана версия на работата си и печели.

Най-интригуващият аспект на работата с която печели Фурие е била обаче не уравнението, а начина по който той го решава. Типичният проблем разглеждан е да се открие как температурата по протежение на метален прът се изменя с течение на времето като се има предвид първоначалният температурен профил.  Фурие е можел да реши това уравнение с лекота ако температурата се променя подобно на синусоида по протежение на дължината.  Така че, той представя по-сложен профил като комбинация от синусоидни извивки с различни дължини на вълната, решава уравнението за всеки компонент на извивката на синусоидата и добавя тези решения заедно. Фурие твърди, че този метод работи върху всеки профил без значение, дори ако съществува такъв, при който температурата рязко се повишава като стойност. Всичко което трябва да се добави е безкрайно число дялове на синусите с повече и повече извивки. Дори и така обаче, новия труд на Фурие е критикуван за не достатъчно взискателен и още веднъж Френската академия отказва да го публикува.

През 1822 Фурие игнорира възраженията и публикува теорията си в книга. Две години по-късно е назначен за секретар в Академията, навирва носа си пред критиката и публикува оригиналният документ в академичният журнал.  Независимо от всичко обаче, критиката е била донякъде права. Математиците са били наясно, че безбройните серии са опасни зверове; те не винаги се държат мило като добрите фиксирани сборове. Разрешавайки тези проблеми, било определено трудно, но крайната присъда била, че идеята на Фурие може да бъде точна посредством изключването на силно нерегулярните профили. Резултата е трансформацията на Фурие, уравнение което третира време-зависещите сигнали като сума на серия от компонентни синуси и калкулира техните амплитуди и честоти. equations

В наши дни трансформацията на Фурие въздейства върху живота ни по неизброими начини. За пример, ние можем да я използваме, за да анализираме вибрационните сигнали получени при земетресение и да пресметнем честотите, при които енергията получена от клатещата се земя е най-голяма. Това е своеобразна стъпка към изграждането на земетръсо-устойчива сграда, тъй като е нужно да бъдем сигурни, че честотите, които сградата би приела без някакви съществени изменения са различни от честотите на земетресенията.
Други приложения включват: премахването на шумове от стари звукозаписи, откриване на структури на ДНК с използването на рентгентографски изображения, подобряване на радиоприемането и предотвратяване на нежеланите вибрации в автомобилите. Плюс това има нещо, от което всеки от нас без да иска се възползва докато прави снимки с цифровия си фотоапарат. Ако пресметнете какво количество информация се изисква, за да се представят цветовете и яркостта на всеки пиксел в дадено цифрово изображение, то ще откриете че цифровата камера като че ли натъпква в картата памет с която работи, около 10 пъти повече данни отколкото картата може да събере. Това става с използването на  JPEG компресия на данни, която комбинира пет различни компресионни стъпки. Една от тях е цифровата версия на трансформацията на Фурие, която работи със сигнал, който не се изменя през времето, но по протежение на изображението. Математиката е виртуално идентична. Другите четири стъпки редуцират данните още повече, до около 1/10 от оригиналното количество.
Това са само седем от множеството уравнения, които срещаме всеки ден, без дори да разбираме че те са там. Но влиянието което те оказват върху историята прониква дълбоко. Истински революционното уравнение може да има по-голямо въздействие върху човешкото съществувание отколкото всички крале и кралици, чиито машинации изпълват историческите книги.

Навярно има (или може би има) едно уравнение над всички, на което физиците и космолозите толкова страстно желаят да положат ръка: Теорията на всичко, което обединява квантовата механика и относителността. Най-добре известният от всички досегашни кандидати е Теорията на суперструните. Но от всичко което знаем, нашите уравнения засягащи физичния свят са може би просто опростени модели, които се провалят в разбирането на дълбоките структури от познатата ни реалност. Дори и природата да се подчинява на универсални закони, те може и да не се изразяват под формата на уравнения.

head1
Някои учени мислят, че е време да изоставим традиционните уравнения напълно в полза на алгоритмите – по-изчистени рецепти за пресмятане на явления, обекти и процеси, които за разлика от уравненията включват вземане на решения. Но докато този ден дойде, ако някога се случи, нашите най-големи познания относно законите на природата ще продължат да приемат формата на уравнения и ние ще се учим да ги разбираме и оценяваме.  Уравненията са оставили следа. Те реално са променили света и ще продължават да го променят и занапред.

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s