Archive for October, 2014

ПЪРВИ СРЕД РАВНИ

Posted: October 27, 2014 in New Scientist

Скрити от погледа ни, уравнения движат живота ни всеки ден. Математикът Ян Стюарт е в търсене на най-влиятелното от тях.

untitled

Алармата звънва, поглеждаш часовника. Часът е 6.30 сутринта.  Още не си се повдигнал от леглото и вече поне 6 уравнения са ти повлияли. Чипът памет, който пази стойността на часа не би могъл да бъде създаден без ключово уравнение от квантовата механика. Времето се настройва посредством радио-сигнал, за изобретяването на който не бихме и могли да мечтаем ако не бяха четирите уравнения на Джеймс Клерк Максуел за електромагнетизма. И самият сигнал пътуващ към часовника, в съответствие с това което познаваме като вълнова функция.

Ние се носим в скрит океан от уравнения. Те са навсякъде около нас – работят в транспорта, финансовата система, здравето, превенцията и наблюдението на престъпността, комуникациите, обработката на храната и водата, отоплението и осветлението. Стъпвайки под душа, попадате под влиянието на уравнения, които контролират водоснабдяването. Закуската ви на масата е повлияна в процеса на отглеждане от статистически уравнения. Шофирайки към работа сте косвено под влиянието на уравненията използвани в дизайна на аеродинамичната форма на автомобила ви – т.нар уравнения на Навие-Стокс, които описват динамиката на въздушните потоци, когато обтичат колата ви. Включването на сателитната навигация използва уравнения от квантовата физика отново плюс законите на Нютон за движението и гравитацията, които са помогнали за изстрелването и позиционирането на сателитите на геостационарна орбита. Същите използват генератор, който работи с уравнения генериращи случайни числа за времевите сигнали, тригонометрични уравнения, за да изчисли местоположението, както и уравнения от специалната и общата относителност за прецизен тракинг на сателитното движение под влияние на земната гравитация.

Без уравнения, голяма част от нашите технологии никога не биха били създадени. Разбира се важни изобретения като колелото и огъня са се появили без някакво математическо познание. Факт е обаче, че без уравнения бихме стояли още в Средновековието.

Има хиляди важни уравнения. Седемте над които се фокусираме – уравнението на вълната, четирите уравнения на Максуел, трансформацията на Фурие и уравнението на Шрьодингер илюстрират как емпиричните наблюдения водят до уравнения, които ползваме и в науката и във всекидневието.

Да погледнем към първото – уравнението на вълната. Ние живеем в свят на вълни. Нашите уши засичат вълните с  периодични колебания и разлики в налягането като звук, очите ни пък засичат вълните светлина. Когато земетресение порази един град, разрушението е предизвикано от сеизмичните вълни минаващи през земната кора.

Математиците и учените трудно биха се провалили в мисленето си за вълните, но тяхната стартова точка идва от изкуствата: как струната на цигулката създава звук?

Въпросът ни връща назад в Древна Гърция до култа към Питагорейците, които откриват,  че ако две струни от един и същ тип и с един и същ опън, имат дължини в просто отношение, като например 2:1 или 3:2, то те издават ноти такива, че заедно те звучат необичайно хармонично.  По-комплексните съотношения не са хармонични и са неприятни за ухото. Бил е швейцарският математик Йохан Бернули този, който започва да прави връзките между тези наблюдения.  През 1727 г. той моделира струна за цигулка като голям брой от близко намиращи се точкови маси, свързани посредством пружини. Той използва законите на Нютон, за да опише система от уравнения на движението и ги решава. От решенията Бернули заключава, че най-простата форма на вибриращата струна е синусоида. Съществуват и други модели на вибрация освен синусоидата, при които повече от една вълна съвпада с дължината на струната,  познати на музикантите като хармоници.

От вълните до безжичното
Почти 20 години по-късно, Жан льо Ронд Д’алембер следва сходна процедура, но се фокусира върху опростяване на уравненията за движението вместо върху техните решения. Това което изплувало като резултат е било елегантно уравнение описващо как фигурата на струната се изменя по протежение на времето. Това е вълновото уравнение и то постулира, че ускорението на някакъв малък сегмент от струната е пропорционално на напрежението действащо върху нея. То намеква, че вълни, чиито честоти не са в просто отношение дават неприятно звучащи звуци познати като “тактове” .Това е една от причините прости цифрови отношения да дават ноти,  които звучат хармонично.

Вълновото уравнение може да бъде изменено така, че да се цели в по-сложни, заплетени феномени като например земетресенията. Някои изискани версии на вълновото уравнение позволяват на сеизмолозите да откриват какво точно се случва стотици километри под краката ни. Уравненията могат да опишат земните тектонични плочи и как едната се подпъхва под другата, предизвикващо земетресения и вулкани. Най-голямата полза в това поле би бил достоверен метод за предсказване на земетресения и вулканични изригвания и множеството от методите, които се използват сега са подкрепени от вълновото уравнение.

Но най-влиятелното прозрение от вълновото уравнение се появява на повърхността водейки началото си от изследване на уравненията на Максуел за електромагнетизма.

През 1820 г. повечето хора осветяват домовете си с използването на свещи и газени лампи, ако искаш да изпратиш съобщение, то пишеш писмо и го поставяш във водена от кон карета; за по-спешни съобщения – забравяш за каретата и си наемаш кон. 100 години по-късно къщите и улиците имат електрическо осветление, телеграфията означава съобщения, които могат да пресичат континенти и хората вече започват да говорят един с друг от разстояние по телефона.  Радио-комуникацията бива демонстрирана в лаборатории, а находчив предприемач построява фабрика продаваща “безжични устройства” на масите.

Тази социална и технологична революция беше задействана от откритието на двама учени. През 1830 г. Майкъл Фарадей установява основите на физиката на електромагнетизма. Тридесет години по-късно, Джеймс Клерк Максуел предприема своеобразно пътешествие по формулирането на математическите основи на експериментите и теориите на Максуел.

По това време повечето физици работещи върху електричеството и магнетизма са търсели аналогии с гравитацията,  на която се гледало като сила действаща между телата от разстояние. Фарадей обаче е имал различна идея: за да обясни серията от експерименти, които провежда върху електричеството и магнетизма, той постулира, че двата феномена са полета, които проникват в пространството, изменят се по протежение на времето и могат да бъдат открити посредством силите, които генерират. Фарадей излага тези теории във вид на геометрични структури описващи линиите на магнитните сили. Максуел реформулира тези идеи по аналогия с математиката на флуидните потоци. Той се аргументира с това, че линиите на силите са аналогични на пътищата следвани от молекулите на флуида и че силата на електричното или магнитното поле е аналогична на скоростта на флуида.

През 1864 г. Максуел представя четири уравнения, които описват основните взаимодействия между електричните и магнитните полета. Две от тях ни казват, че електричеството и магнетизма не могат да “изтичат”. Другите две пък ни казват, че когато регион от електрическо поле се завърти в малък кръг, той създава магнитно поле, и че въртящ се регион от магнитно поле създава електрично такова. Но това което прави Максуел след това е впечатляващото. С прилагането на няколко прости манипулации по уравненията, той успява в това, да изведе вълновото уравнение и да заключи, че светлината трябва да бъде електромагнитна вълна.equations2

Това само по себе си е била изумителна новина, тъй като никой дотогава не си е представял такава фундаментална връзка между светлината, електричеството и магнетизма. И освен това се установило и друго, че светлината съществува в различни цветове, кореспондиращи на различни дължини на вълната. Дължините на вълните, които виждаме са ограничени от химията лежаща зад светлочувствителните пигменти на окото.  Уравненията на Максуел правят драматично предсказание – че електромагнитни вълни от всички дължини би трябвало да съществуват. Някои от тях с по-големи дължини от тези, които можем да виждаме трансформират света: радиовълните.
През 1887, Хайнрих Херц демонстрира радиовълните експериментално, но се проваля в това да оцени тяхното революционно приложение. Ако можеш да поставиш сигнал върху подобна вълна, можеш да говориш с целия свят.

Никола Тесла,  Гулиелмо Маркони и други учени и изследователи превръщат тази мечта в реалност и цялата пищност от модерни комуникации – от радиото и телевизията, до радарите и микровълните водещи до клетъчните телефони по някакъв естествено следващ път се появяват. И те всички водят началото си от четири уравнения и няколко прости изчисления. Уравненията на Максуел не просто променят света, те откриват нов такъв.

И също толкова важно както това, което описват уравненията на Максуел е и това, което не описват. И въпреки че уравненията  разкриват светлината като вълна, физиците скоро откриват, че това поведение понякога е в противоречие с тази гледна точка. Насочете светлина върху метал и тя създава електричество, феномен наречен фотоелектричен ефект. Но това има смисъл, само ако светлината се държи като частица. Така че, е ли светлината вълна или частица? Всъщност, по-малко от двете. Материята е направена от квантови вълни и гъсто заплетена мрежа от вълни действащи като частици.

Жив или мъртъв
През 1927 Ервин Шрьодингер написва уравнение за квантовите вълни.  То пасва красиво върху експериментите, докато той рисува картина на много странен свят, в който фундаменталните частици като електроните не са добре обяснени обекти, а представляват вероятностни облаци. И спинът на електрона, който е подобно на монета, която може да бъде с едната или другата страна нагоре докато не удари по масата. Скоро теоретиците се чудят относно всички начини на квантовата странност които съществуват, както котките които са едновременно живи и мъртви и паралелните Вселени, в които Адолф Хитлер печели втората световна война.
Квантовата механика не е ограничена от подобни философски енигми. Почти всички модерни играчки – компютрите, клетъчните телефони, игралните конзоли, автомобилите, хладилниците, печките – съдържат чипове памет, базирани на транзистори, чиито операции се базират на квантова механика на полупроводниците. Нови приложения квантовата механика открива почти на седмичен базис. Квантовите точки – малки бучици полупроводник могат да емитират светлина във всякакъв цвят  и се използват за биологична визуализация, където заменят традиционните, често токсични багрила.

Инженери и физици се опитват да изобретят квантов компютър, такъв който може да изпълнява множество различни изчисления паралелно, точно подобно на котката, която е едновременно жива и мъртва.

Лазерите са другото приложение на квантовата механика. Използваме ги, за да четем информация от малки белези или кратери по повърхността на  CD-та, DVD-та и Blu-ray дискове. Астрономите използват лазери, за да измерват разстоянието между Земята и Луната. Може би дори е възможно да се изстреля космически кораб от Земята, който използва силата на мощен лазерен лъч, за да се придвижва в пространството.

Последната глава тази история произлиза от уравнение което ни помага да разберем смисъла на вълните. Всичко започва през 1807 г., когато Жозеф Фурие изнамира уравнение за топлинните потоци. Той представя работата си пред Френската Академия по науките, но тя бива отхвърлена. През 1812, Академията установява условие за спечелването на годишната награда, като темата за научни изследвания е топлината. Фурие представя по-разширена, ревизирана версия на работата си и печели.

Най-интригуващият аспект на работата с която печели Фурие е била обаче не уравнението, а начина по който той го решава. Типичният проблем разглеждан е да се открие как температурата по протежение на метален прът се изменя с течение на времето като се има предвид първоначалният температурен профил.  Фурие е можел да реши това уравнение с лекота ако температурата се променя подобно на синусоида по протежение на дължината.  Така че, той представя по-сложен профил като комбинация от синусоидни извивки с различни дължини на вълната, решава уравнението за всеки компонент на извивката на синусоидата и добавя тези решения заедно. Фурие твърди, че този метод работи върху всеки профил без значение, дори ако съществува такъв, при който температурата рязко се повишава като стойност. Всичко което трябва да се добави е безкрайно число дялове на синусите с повече и повече извивки. Дори и така обаче, новия труд на Фурие е критикуван за не достатъчно взискателен и още веднъж Френската академия отказва да го публикува.

През 1822 Фурие игнорира възраженията и публикува теорията си в книга. Две години по-късно е назначен за секретар в Академията, навирва носа си пред критиката и публикува оригиналният документ в академичният журнал.  Независимо от всичко обаче, критиката е била донякъде права. Математиците са били наясно, че безбройните серии са опасни зверове; те не винаги се държат мило като добрите фиксирани сборове. Разрешавайки тези проблеми, било определено трудно, но крайната присъда била, че идеята на Фурие може да бъде точна посредством изключването на силно нерегулярните профили. Резултата е трансформацията на Фурие, уравнение което третира време-зависещите сигнали като сума на серия от компонентни синуси и калкулира техните амплитуди и честоти. equations

В наши дни трансформацията на Фурие въздейства върху живота ни по неизброими начини. За пример, ние можем да я използваме, за да анализираме вибрационните сигнали получени при земетресение и да пресметнем честотите, при които енергията получена от клатещата се земя е най-голяма. Това е своеобразна стъпка към изграждането на земетръсо-устойчива сграда, тъй като е нужно да бъдем сигурни, че честотите, които сградата би приела без някакви съществени изменения са различни от честотите на земетресенията.
Други приложения включват: премахването на шумове от стари звукозаписи, откриване на структури на ДНК с използването на рентгентографски изображения, подобряване на радиоприемането и предотвратяване на нежеланите вибрации в автомобилите. Плюс това има нещо, от което всеки от нас без да иска се възползва докато прави снимки с цифровия си фотоапарат. Ако пресметнете какво количество информация се изисква, за да се представят цветовете и яркостта на всеки пиксел в дадено цифрово изображение, то ще откриете че цифровата камера като че ли натъпква в картата памет с която работи, около 10 пъти повече данни отколкото картата може да събере. Това става с използването на  JPEG компресия на данни, която комбинира пет различни компресионни стъпки. Една от тях е цифровата версия на трансформацията на Фурие, която работи със сигнал, който не се изменя през времето, но по протежение на изображението. Математиката е виртуално идентична. Другите четири стъпки редуцират данните още повече, до около 1/10 от оригиналното количество.
Това са само седем от множеството уравнения, които срещаме всеки ден, без дори да разбираме че те са там. Но влиянието което те оказват върху историята прониква дълбоко. Истински революционното уравнение може да има по-голямо въздействие върху човешкото съществувание отколкото всички крале и кралици, чиито машинации изпълват историческите книги.

Навярно има (или може би има) едно уравнение над всички, на което физиците и космолозите толкова страстно желаят да положат ръка: Теорията на всичко, което обединява квантовата механика и относителността. Най-добре известният от всички досегашни кандидати е Теорията на суперструните. Но от всичко което знаем, нашите уравнения засягащи физичния свят са може би просто опростени модели, които се провалят в разбирането на дълбоките структури от познатата ни реалност. Дори и природата да се подчинява на универсални закони, те може и да не се изразяват под формата на уравнения.

head1
Някои учени мислят, че е време да изоставим традиционните уравнения напълно в полза на алгоритмите – по-изчистени рецепти за пресмятане на явления, обекти и процеси, които за разлика от уравненията включват вземане на решения. Но докато този ден дойде, ако някога се случи, нашите най-големи познания относно законите на природата ще продължат да приемат формата на уравнения и ние ще се учим да ги разбираме и оценяваме.  Уравненията са оставили следа. Те реално са променили света и ще продължават да го променят и занапред.

n00bscientist.wordpress.com agrees to indemnify RBI and New Scientist against any claim arising from incorrect or misleading translation.

Advertisements

Тук обаче трябва да уточним, че има още гънки по растящата структура. Квантовата теория разкрива, че бъдещето е неопределено и че аспекти на настоящето са също така неопределени: бедното коте на Шрьодингер е пример за това, ако ли не си направим труда да проверим дали е живо или умряло.

Решението на Елис, формулирано заедно с колегата му Тони Ротман през 2009-та е, че настоящето не е солидна повърхност, а такава набраздена с неопределености, които постепенно се втвърдяват до определености. Тези дупки в настоящето не са нещо, което ние забелязваме: с котката въпреки квантовите неопределености може да се случат много малко неща и то в много тясна времева скала. “Дупките в настоящето не са толкова големи, че да може да се падне през тях,” казва Елис. Той все още работи върху пропуски в теорията си, най-вече по отношение на това как създаването на бъдещето се нанася от космически до квантов мащаб.

Не всеки е обаче сигурен, че той върви в правилната посока. Хю Прайс, физик-философ от Университета в Кеймбридж не е убеден в заложения смисъл на настоящето като разделителна линия между реалното минало и нереалното бъдеще. Дори и бъдещето да е неопределено, казва той, все още може да бъде реално: от текущата си позиция може и да не можете да определите например какво има от другата страна на планината, но това не значи, че то не съществува.

Протеста на Карол, е че аргументите на Елис зависят от истината на интерпретацията “Копенхаген” за квантовата механика. А именно идеята, че актът на измерване определя бъдещата траектория на бъдещето е и най-популярният начин сред физиците да уравновесят неопределеността на квантовата теория с несъмнено определеният свят около нас.

Карол предпочита сценария “множество светове” в който всяка квантова възможност се случва в различни Вселени: сегашната котка на Шрьодингер е мъртва в някои Вселени, но жива в други. Бъдещето на котката е дефинирано, както е и миналото и; тя просто има множество възможни бъдещета. Ако тази интерпретация – или някоя друга от множеството интерпретации на квантовата теория – е вярна, то начина на Елис за дефиниране на настоящето се изпарява.  Това е и една от причините, защо теоретичният физик Лий Смолин от Института Периметър в Ватерло, Онтарио в Канада, мисли че трябва да сме по-радикални в спасяването на времето. В последната си книга – “Прераждането на времето“, той изтъква, че ако искаме недвусмислено да възприемаме времето с това, което физиката ни казва за него, то това не е добра адаптация спрямо Блок-Вселената: трябва да изхвърлим всичко накуп.
Отправната точка на Смолин е преформулирането на Общата теория за относителността известна  като Динамика на формата, разработена от независимия физик Джулиан Барбър и негови сътрудници. И докато при относителността пространството и времето се разтягат или свиват за наблюдателите пътуващи с различни скорости, то при Динамиката на формата единствено се изменя размера. Двама отдалечени наблюдателя винаги ще са на едно мнение относно това, какво се случва “сега” в галактиката, независимо от тяхното собствено относително движение; те просто няма да бъдат в състояние да се съгласят колко големи нещата в галактиката са. Това може и да изглежда като антагоническа игра – замяната на един неудобен принцип с друг.
За Смолин  обаче изкривяването единствено на пространството вместо пространството и времето удобно пресъздава концепцията за време, която квантовата физика използва, тази в която единичен външен часовник осигурява ритъма, който различава един момент от следващия.

Голямата награда която се предлага е възможността за унифициране на разбирането ни за квантовата теория с това за гравитацията, единствената от фундаменталните сили на природата, за която нямаме квантово обяснение. Пътят към “теория на всичко“, мисли Смолин е през по-доброто разбиране на времето.

Уникалното настояще

След като веднъж състоянието на едновременност е придобито, става възможно да се опише цялата Вселена като серия от наслоени моменти – последователност от обективно идентифицирани времена, в които всички събития са едновременни. “Всичко това съществува в този момент“, казва Смолин. Това е различното от Блок-Вселената, където минало, настояще и бъдеще са еквивалентно реални, или концепцията на Елис, в която единствено миналото и настоящето са такива. Вместо това, единствените неща, които са реални относно миналото или бъдещето в света на Смолин, са знаците за тях в настоящето: записи на миналото или индикатори на това, което ще стане в бъдещето. Смолин работи заедно с Марина Кортес от Университета в Единбург, Великобритания върху одухотворяването на идеята математически и изучаването на това, кои от множеството теоретични подходи към квантовата гравитация са съвместими с нея. Цената при все това е неизменна. Дори ако подходите на Смолин или Елис могат да осигурят обективен начин за дефиниране на настоящето, налице е голяма логическа дупка според него. От една страна, подобни аргументи изискват настоящият момент да е уникален; от друга – те претендират, че всеки друг момент също притежава уникални свойства. “Цялата идея за привилегированото настояще е некохерентна“, казва той. Тим Модлин, философ и математик в Ню Йоркският Университет има различно възражение. Дори ако теориите на Елис или Смолин осигуряват физичен базис за нашата интуитивна концепция за “тук” и “сега”, те не обясняват факта, че ние виждаме времето течащо, докато физиците предполагат че е стационарно. Това е фундаментален пропуск, казва Модлин.

Схващането че времето тече е абсолютно разпространена концепция; не е някакъв технически жаргон измислен от философите.” Без да тече времето, казва Модлин, нищо не мърда като цяло. Обекти като реките,  изглежда че текат в пространството, но “фундаменталното направление във времето е това, което лежи под всички тези направления.” През последните няколко години Модлин работи върху това, което той нарича Теория на линейните структури, за която се надява да му позволи да реинтегрира течащото време във физиката. Корените на идеята са в математиката, наместо във физиката: за разлика от Динамиката на формата, тя не осигурява конкурентен физичен подход към изкривената пространствено-временна геометрия въведена от относителността. “Това е език, на който да се напише физична теория, а не самата физична теория,” казва Модлин, който е публикувал идеята в детайли.

Главна добавка към речника на този език е обект наречен направляваща линия. Във всяка конвенционална геометрия, линиите между две точки в пространството и времето не възникват с естествено направление: нужно е ние да дефинираме линия по смисъла на координатната система, указваща че минава от мен към теб, вместо от теб към мен, или да изчертаем стрелка за посока в началото линията, за да направим нещата ясни. В геометричния език на Модлин обаче, тази стрелка за посока съществува по подразбиране в дефиницията за всяка линия. След като това е внедрено във фундаментален език на геометрията, времето по естествен път може да получи направление.

Елис смята, че работата на Модлин е интересна и също съвместима с неговата растяща блокова картина, обясняваща с повече детайли как потока от време може да бъде фундаментален за физиката. “В края на краищата, казва той, трябва да базираш теориите си на нещо фундаментално определено. Времето е от този тип дадено, около което всичко тече.”
Карол е по-скептичен. Вместо да се опитваме да изменим Блок-Вселената, казва той, за да обясним нашето възприемане за течащото време, би трябвало да се концентрираме върху обяснението на човешкият опит в светлината на каквото нашата твърде успешна физика ни казва за Блок-Вселената. Тази цел е достижима. “Но това не значи, че сме го постигнали, просто не виждам обстоятелства, които да пречат по този път.

Оставяйки се на течението

Крейг Календър, философ от Университета в Калифорния, Сан Диего, се съгласява. Обяснението на нашето очевидно странно възприемане на времето не значи, че трябва да обърнем наопаки физиката или да изобретим напълно различна геометрия.

Когато ние “закрепим” същества като нас във Вселена като нашата, има смисъл, че трябва да виждаме течащото време и да различаваме миналото, настоящето и бъдещето – дори когато реалността е нещо различно, казва Календър.  За да обясня защо, трябва да се върнем в онази гледна точка, в която гледаме цялата Блок-Вселена и приближаваме гледната точка върху малката човешка точица: четириизмерен червей, с бебе в единият край и труп в другия. Тази “червейна” перцепция за време се различава от “реалността” първо по отношение на това, че той запомня миналото, но не вижда бъдещето.Това може да бъде обяснено като резултат от термодинамиката.  Вселената е стартирала като силно организирано, спретнато състояние след Големият Взрив, и оттам-насетне се разширява в силно неорганизирано, безволево състояние. Налице е безконечност от пътища, по които Вселената може да еволюира напред във времето, но един-единствен път назад в историята си. Защо Вселената работи по този начин е друг, фундаментален неразрешен въпрос – но това означава, че чисто статистически, ние просто имаме чист поглед назад във времето. Дори и тогава ще очаквате нашите червеи да се чувстват, като че сме неподвижни във времето с поглед единствено в една посока, вместо това което преживяваме: движим се неохотно към бъдещето без някакво ясно виждане накъде сме се насочили.
За Календър, ключът към тази илюзия е важен психологически факт за нас самите: ние имаме чувство за идентичност. За физиката, живота ти се описва като серия от разрези на твоя червей – ти –  като бебе, ти – когато ядеш закуската си тази сутрин, ти – започвайки да четеш това изречение и т.н., като всеки разрез съществува неподвижно в съответстващото му време. Ние генерираме движението на времето посредством мисленето, че същото аз което яде закуска тази сутрин също и започна да чете това изречение.
Наистина налице са всички тези различни АЗ през всички тези различни времена“, казва Календър. “Но защото аз мисля, че съм идентичен по протежение на времето, то и затова изглежда че времето тече, дори ако това не е така.
Така че трябва ли наистина да скърбим по отминаващото време?  Айнщайн за пример, очерта утеха от изгледа на безкрайната Вселена, която той спомогна да се създаде, обединявайки семейството на скоро отишлия си приятел: “Сега, той напусна този странен свят малко по-напред от мен. Това не значи нищо. Хора като нас, такива, които вярват във физиката, знаят че различието между минало, настояще и бъдеще е просто устойчива и упорита илюзия. ” Каквато е и.